Чому не можна ділити на нуль?

«Ділити на нуль не можна!» — Більшість школярів завчає це правило напам'ять і більше не цікавиться цим питанням. Всі діти знають, що таке «не можна». Але ж насправді дуже цікаво і важливо знати, чому ж не можна.

Вся справа в тому, що чотири дії арифметики — додавання, віднімання, множення і ділення — насправді нерівноправні. Математики визнають повноцінними тільки дві з них — додавання і множення. Ці операції та їх властивості включаються в саме визначення поняття числа. Всі інші дії будуються тим чи іншим чином з цих двох.

Розглянемо, наприклад, віднімання. Що значить 5 − 3? Школяр відповість на це просто: треба взяти п'ять предметів, відняти (забрати) три з них і подивитися, скільки залишиться. А, от, математики дивляться на це завдання зовсім по-іншому. Немає ніякого віднімання, є тільки додавання. Тому запис 5 − 3 означає таке число, яке при складанні з числом 3 дасть число 5. Тобто 5 − 3 — це просто скорочений запис рівняння: x + 3 = 5. У цьому рівнянні немає ніякого віднімання. Є тільки завдання — знайти відповідне число.

Аналогічна ситуація з множенням і діленням. Запис 8 : 4 можна розуміти як результат поділу восьми предметів за чотирма рівним купках. Але насправді це просто скорочена форма запису рівняння 4 · x = 8.

Ось тут-то і стає ясно, чому не можна (а точніше неможливо) ділити на нуль. Запис 5 : 0 — це скорочення від 0 · x = 5. Тобто це завдання знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5. Але ми знаємо, що при множенні на 0 завжди виходить 0. Це невід'ємна властивість нуля, строго кажучи, частина його визначення.

Такого числа, яке при множенні на 0 дасть щось крім нуля, просто не існує. Тобто наша задача не має рішення. (Так, таке буває, не у всякої задачі є рішення.) А значить, запису 5 : 0 не відповідає жодне конкретне число, і він просто нічого не позначає і тому не має сенсу. Безглуздість цього запису коротко висловлюють, кажучи, що на нуль ділити не можна.

Найбільш уважні читачі в цьому місці неодмінно запитають: а чи можна нуль ділити на нуль? Справді, адже рівняння 0 · x = 0 успішно вирішується. Наприклад, можна взяти x = 0, і тоді отримуємо 0 · 0 = 0. Виходить, 0 : 0 = 0? Але не будемо поспішати. Спробуємо взяти x = 1. Отримаємо 0 · 1 = 0. Правильно? Значить, 0 : 0 = 1? Але ж так можна взяти будь-яке число і отримати 0 : 0 = 5, 0: 0 = 317 і т.д.

Але якщо підходить будь-яке число, то у нас немає ніяких підстав зупинити свій вибір на якомусь одному з них. Тобто ми не можемо сказати, якому числу відповідає запис 0 : 0. А раз так, то ми змушені визнати, що цей запис теж не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть нуль. (В математичному аналізі бувають випадки, коли завдяки додатковим умовам задачі можна віддати перевагу одному з можливих варіантів вирішення рівняння 0 · x = 0; в таких випадках математики говорять про «розкриття невизначеності», але в арифметиці таких випадків не зустрічається.)

Ось така особливість є у операції ділення. А точніше — у операції множення і пов'язаного з нею числа нуль.